第38讲：《线性微分方程解的结构与常数变易法》内容小结、课件与典型例题与练习

一、基本概念

阶线性微分方程：具有以下结构的微分方程

左侧表达式为关于未知函数及其各阶导数的线性表达式，系数可以自变量的函数也可以是常数．

如果不恒为0，则为非齐次线性微分方程

相应的(系数与上面方程(*)中的系数相同)齐次线性微分方程为

二、函数组的线性相关与线性无关

设是定义在区间上的个函数，如果存在不全为零的个常数，使得对一切，都有

则称这个函数在区间内线性相关．否则称为线性无关. 即要使得上式区间内成立，当且仅当

三、线性微分方程解的结构

对于线性微分方程具有如下解的结构，解的结构是求解线性微分方程的基础.

(1) 设是齐次线性微分方程的个解，则

也是的解，其中是个任意常数.

(2) 设是齐次线性微分方程的个线性无关的解，则

是的通解，其中是个任意常数.

(3) 设是非齐次线性微分方程的解，则 是对应齐次线性微分方程的解.

(4) 设是齐次线性微分方程的通解， 是非齐次线性微分方程的解，则

是非齐次线性方程的通解.

(5) 设分别是非齐次线性方程右边项为的解，则 为右边项为的解.

(6) 设分别是非齐次线性方程的解，如果

则函数

为非齐次线性方程的解.

四、降阶法与刘维尔公式

设为二阶齐次线性微分方程

的一个非零特解，则与线性无关的另一个特解为

该公式称为刘维尔公式.

【注】该方法称为降阶法，也可以认为是待定函数法，即令

代入微分方程，通过求得一个得到，也可以当作常数变易法的一种，即为微分方程的解，令常数为待定函数，代入微分方程计算得到. 公式中的不定积分都不带任意常数. 如果将以上计算的不定积分都带上任意常数，则将计算得到的直接就为原方程的通解.

五、常数变易法

设为二阶非齐次线性微分方程

的对应的齐次线性微分方程

的两个线性无关的解，令

为非齐次线性微分方程的解，则解方程组

求出，则

为原方程的一个特解. 由线性微分方程解的结构，可得非齐次线性微分方程的通解.

【注1】如果求得的两个函数各自带上任意常数，则代入所设特解表达式，直接得到原方程的通解.

【注2】也可以直接基于刘维尔公式求特解的思路，直接在已知一个齐次线性微分方程特解 的基础上，直接令为非齐次线性微分方程的解，在求的过程中，将积分都带上任意常数，则通过计算到的带两个任意常数的可以直接得到原方程的通解，具体思路与例题参见课件的例题与练习！‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍

参考课件

【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，或者通过公众号底部菜单 高数线代 下的 高等数学概率其他 选项，在打开的导航列表中通过“高等数学”面板查看各章节推送推文列表！

相关推荐

● 高等数学、线性代数、概率统计等课程完整推送内容参见公众号底部菜单 高数线代 下的各选项，主要内容包括各章节内容总结、课件，题型、知识点与典型题分析、典型习题讲解、知识点扩展与延伸和单元测试题等！

● 历届考研真题及详细参考解答浏览 考研帮助 菜单中 考研指南真题练习 选项

● 全国、省、市、校竞赛真题、模拟试卷请参见公众号底部  竞赛实验  下 竞赛试题与通知  选项

● 全国赛初赛历届真题解析教学视频/高等数学解题思路、方法探索与“解题套路”，参见咱号配套在线课堂的历届竞赛真题解析课程，具体介绍请在公众号会话框回复“在线课堂”或者点击公众号菜单 高数线代 下的 在线课堂专题讲座  选项了解！

微信公众号：考研竞赛数学(ID: xwmath)大学数学公共基础课程分享交流平台！支持咱号请点赞分享！

↓↓↓点阅读原文查看更多相关内容